绪论

信号(Signal): 表达传递信息的符号
- 长城的烽火
- 书信
- 表情，肢体语言

什么是信息
1948年，美国著名数学家，控制论的创始人维纳在《控制论》一书中，指出“信息就是信息，既非物质，也非能量”。
1948年，美国数学家，信息论的创始人香农在题为“通讯的数学理论”的论文中指出：“信息是用来消除随机不定性的东西”。
对香农观点的直观化解释:信息就是这样一种东西，我们有了它以后，对某件事情的不确定度降低。
一般来说：我们倾向于不需要媒介，成本低，简洁，传输速度快，传输可靠的信号。

系统(System): 有输入，有输出（input, output）
- 输入的是某个信号，输出的是另外的信号
- 系统就是接受输入的信号，并把输入的信号转换为另外的信号的实体。

可以将一个复杂的系统分解为若干基本系统
设计这些基本系统
几把呢系统级联起来构成复杂的系统

典型的信号

信号的描述和信号的分类

基于信号维度的分类

一维信号：电话
二维信号：图像
三维信号：电视的视频信号，深度图
四维信号：VR眼镜

在本门课程中，主要讨论一维信号。

基于连续性分类

连续信号：x(t), t∈R
离散信号：x[n], n∈Z

周期信号与非周期信号

x(t) = x(t + mT)
x[n] = x[n + mN]

奇信号与偶信号

任何信号都可以分解为奇信号和偶信号的叠加

$x(t) = [\frac{x(t)+x(-t)}{2}] + [\frac{x(t)-x(-t)}{2}] = x_e(t) + x_o(t)$

e:even，偶
o:odd，奇

功率信号和能量信号

一个信号的能量和功率是这样定义的：
设信号$x(t)$为电压或电流。
则它在1Ω电阻上的瞬时功率为$p(t) = |x(t)|^2$
在$t1 \leq t \leq t_2$内消耗的能量为: $E = \int{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dt$
当$T = (t_2 - t_1) \rightarrow \infin$时，总能量E和平均功率P分别定义为：

$E = \lim_{t_2 - t_1 \to \infin} \int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dt$ $P = \lim_{t_2 - t_1 \to \infin} \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dt$

能量信号（能量有限信号）

如果信号x(t)的能量E满足: $0 < E < \infin, 而P = 0$;

功率信号（功率有限信号）

如果信号x(t)的功率满足: $0 < P < \infin，而 E = \infin$

连续信号

单位阶跃信号

$u(t) = \begin{cases} 1, t > 0 时 \\ 0, t < 0 时 \end{cases}$

u(0)可以等于任何值,无定义

冲击信号

用于表示一种物理现象：发生的时间极短，而物理量的取值又极大，如雷电，冲击力，电容经小电阻充电等。

$\delta(t) = \begin{cases} +\infin ,t=0 \\ 0, 其他 \end{cases}$ $\int_{-\infin} ^{+\infin} \delta(t)dt = 1$

与u(t)的关系

$u(t) = \int_{-\infin} ^t \delta(t)dt\\ \delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$

由于u(t)在t = 0处无定义，所以上式不能作为定义式。

抽样函数

$Sa(t) = \begin{cases} 1, t=0 \\ \frac{sin(t)}{t}, 其他 \end{cases}$ $\int_{-\infin}^{+\infin} Sa(t) = \pi \\ \int_{-\infin}^{0} Sa(t) = \frac{\pi}{2}$

离散信号

单位脉冲序列

$\delta[n] = \begin{cases} 1, n = 0, \\ 0, 其他 \end{cases}$

单位阶跃序列

$u[n] = \begin{cases} 0, n < 0 \\ 1, n \geq 0 \end{cases}$

信号的自变量变换

化成标准形式
前有负号翻转
系数大于1压缩，系数小于1拉伸
加号左移，减号右移

$X[n] = \Sigma_{k = -\infin}^{+ \infin} X[k] \delta[n - k]$

典型的系统

线性系统

齐次性：假设任意的经过系统$x(t) \to y(t)$,则$ax(t) \to ay(t)$
叠加性：假设任意的经过系统$x_1(t) \to y_1(t), x_2(t) \to y_2(t)$,则$x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t)$

常见线性系统：

放大器
微分器
积分器

判定小技巧：

每一项都有x
每一项的x都是1次

时不变系统

$若 \forall x(t) \overset{系统}{\longrightarrow} y(t) 则有 \forall t_0 \in R，有 x(t - t_0) \overset{系统}{\longrightarrow} y(t - t_0),$

则是时不变系统，否则是时变系统。

时不变系统：

$y(t) = x(t-1)$
$y(t) = e^{x(t+1)}$

判据：

t只在x的括号里
t只能是t，不能是2t, -2t, t^2等

因果系统

如果一个系统任何时刻输出只取决于现在和过去的输入，就称该系统为因果系统。

简单来说，就是输出y(t)在输入x(t)之后发生。
因果系统在物理上难以实现。

因果系统

y(t) = x(t - 1)

判据

x括号里面的数恒小于y括号里面的数。

无记忆系统

一个系统无记忆，是指y(t)的值，仅仅只依赖于x(t)的值。

无记忆系统

$y(t) = x(t)^2 + e^{x(t)}$

判据：

x与y括号里的数完全一样。

无记忆系统一定是因果系统

可逆系统

x(t)能唯一写成y(t)的形式

可逆系统

y(t) = x(t - 1) $\to$ x(t) = y(t + 1)
$y[n] = \Sigma_{k = -\infin}^n x[k]$

积分器可逆，微分器不可逆，因为微分的逆是积分，会有一个常数。

稳定系统

稳定系统指，若x(t)有界，则y(t)有界

稳定系统

$y(t) = e^{x(t)}$

不稳定系统